Базис трехмерного пространства. Разложение вектора по базису. Координаты вектора

**Базисом плоскости** называется произвольная упорядоченная пара неколлинеарных векторов, лежащих в этой плоскости. Базис из $\vec{a}, \vec{b}$ обозначим $(\vec{a}, \vec{b})$

Пусть $(\vec{a}, \vec{b})$ - базис плоскости, $\vec{x}$ - вектор, лежащий в плоскости. Тогда существуют единственные числа $t_{1}, t_{2}$ такие, что: $$\vec{x} = t_{1}\vec{a} + t_{2}\vec{b}$$

Отложим $\vec{a}, \vec{b}, \vec{x}$ от некоторой точки $O$ на плоскости и обозначим концы полученных направленных отрезков $A, B, M$ (см. рисунок) !basis_plane.png **Существование**. Спроектируем $M$ на $OA$ параллельно $OB$ и на $OB$ параллельно $OA$. Полученные точки обозначим за $A', B'$ и положим $\vec{a}' := \overrightarrow{OA'},~ \vec{b}' := \overrightarrow{OB'}$. Ясно, что $\vec{a}' \parallel \vec{a}$ и $\vec{b}' \parallel \vec{b}$. Так как $\vec{a},\vec{b} \neq \vec{0}$, по критерию коллинеарности: $\vec{a}' = t_{1}\vec{a},~ \vec{b}' = t_{2}\vec{b}$. Тогда $\vec{x} = \vec{a}' + \vec{b}' = t_{1}\vec{a} + t_{2}\vec{b}$. **Единственность**. Пусть $\vec{x} = s_{1}\vec{a} + s_{2}\vec{b}$. Вычтем это равенство из равенства $\vec{x} = t_{1}\vec{a} + t_{2}\vec{b}$, получим: $$(t_{1} - s_{1})\vec{a} + (t_{2} - s_{2})\vec{b} = \vec{0}$$ Если $t_{1} - s_{1} \neq 0$, то $\vec{a} = - \dfrac{t_{2} - s_{2}}{t_{1} - s_{1}} \cdot \vec{b}$, а значит $\vec{a} \parallel \vec{b}$, противоречие. Следовательно $t_{1} = s_{1}$. Аналогично $t_{2} = s_{2}$ $~~~\square$

Базис трёхмерного пространства - упорядоченная тройка некомпланарных векторов. Базис из $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ обозначим как $(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})$

Пусть $(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})$ - базис пространства, $\vec{x}$ - произвольный вектор. Тогда существуют, и притом единственные, числа $t_{1}, t_{2}, t_{3}$ такие, что: $\vec{x} = t_{1}\vec{a} + t_{2}\vec{b} + t_{3}\vec{c}$

!Доказательство теоремы о разложении вектора по базису.svg Существование: Отложим $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{x}$ от $O$ и обозначим концы полученных отрезков через $A, B, C, M$ $\vec{a} \nparallel \vec{b} \Rightarrow \exists{! \pi}~~ O, A, B \in \pi$. Спроектируем $M$ на $\pi$ параллельно прямой $OC$ и на прямую $OC$ параллельно $\pi$. Обозначим полученные точки через $M'$ и $C'$ и положим $\vec{x}' := \overrightarrow{OM'}, \vec{c} := \overrightarrow{OC'}$ По теореме о разложении вектора по базису на плоскости $\vec{x}' = t_{1}\vec{a} + t_{2}\vec{b}$ для некоторых $t_{1}, t_{2}$. $\vec{c}' \parallel \vec{c} \neq \vec{0} \Rightarrow \vec{c}' = t_{3}\vec{c}$ для некоторого $t_{3}$. Тогда $\vec{x} = \vec{x}' + \vec{c}' = t_{1}\vec{a} + t_{2}\vec{b} + t_{3}\vec{c}$ Единственность: От противного: пусть $\vec{x} = s_{1}\vec{a} + s_{2}\vec{b} + s_{3}\vec{c}$, тогда: $$(t_{1} - s_{1})\vec{a} + (t_{2} - s_{2})\vec{b} + (t_{3} - s_{3})\vec{c} = \vec{0}$$ Если $t_{1} - s_{1} \neq 0$, то $\vec{a} = - \dfrac{t_{2} - s_{2}}{t_{1} - s_{1}} \cdot \vec{b} - \dfrac{t_{3} - s_{3}}{t_{1}-s_{1}} \cdot \vec{c}$. Но тогда $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ - компланарны, противоречие. Аналогично противоречие возникает и для $s_{2}, s_{3} ~~~\square$

Пусть $\vec{x} = (x_{1}, x_{2}, x_{3}), \vec{y} = (y_{1}, y_{2}, y_{3})$ в базисе $(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})$, $t$ - произвольное число. Тогда: $$\vec{x} + \vec{y} = (x_{1} + y_{1}, x_{2} + y_{2}, x_{3}+y_{3}),~ t\vec{x} = (t x_{1}, t x_{2}, t x_{3})$$ Аналогичное справедливо для векторов на плоскости

Через разложение по базису и свойства операций.